Сажени. Строй

Древние уверяли, что уже Пифагор знал законы колебания струны монохорда и построения музыкальных созвучий (консонансов).
«Законы Пифагора — Архита», на которых основывалась вся пифагорейская теория музыки, можно сформулировать так:
1. Высота тона (частота колебаний f) звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l: f=a/l
здесь а - коэффициент пропорциональности, зависящий от физических свойств струны (толщины, материала и т. п.).
2. Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число 10 = 1 + 2 + 3 + 4, т. е. как 1:2, 2:3, 3:4.
Эти интервалы - «совершенные консонансы» и их интервальные коэффициенты позже получили латинские названия: октава, квинта, кварта.

Было замечено также, что наиболее полное слияние тонов дает октава (2/1), затем идут квинта (3/2) и кварта (4/3), т. е. чем меньше число n в отношении вида тем созвучнее интервал.

«Второй закон Пифагора — Архита» и сейчас кажется удивительным. Что же говорить о пифагорейцах, которых он просто привел в восторг! Здесь они нашли подтверждение всей своей философии: целые числа, более того, числа тетрактиса правят всем, даже музыкой! Пифагорейцы не заставили себя долго ждать и распространили закон музыкальных отношений всюду, где это возможно, в том числе и на строение вселенной.

Итак, если в качестве цены деления шкалы монохорда взять отрезок l, равный 1/12 длины струны монохорда l1, то вместе со всей струной монохорда длины l1= 12l будут созвучны ее части длины l2= 6l - звук на октаву выше (l2:l1= 1:2), l3= 9l - звук на квинту выше (l3:l1= 3:4) и l4= 8l - звук на кварту выше (l4:l1= 2:3). Это созвучие и определяющие его числа 6, 8, 9, 12 назывались тетрада (четверка). Пифагорейцы считали, что тетрада - это «та гамма, по которой поют сирены.» При настройке античной лиры, ставшей символом музыки, четыре ее струны обязательно настраивались по правилу тетрады, а настройка остальных струн зависела от лада, в котором предстояло на ней играть.

Здесь цифры внизу обозначают интервальные коэффициенты соседних ступеней гаммы; напомним, что 9/8 есть тон, а 256/243 - полутон. Мы обнаружили также, что основные консонансные интервалы в пределах октавы - квинта и кварта - являются соответственно средним арифметическим и средним гармоническим частот основного тона и октавы. Кроме того, октава, квинта, кварта и тон образуют геометрическую пропорцию:
октава/квинта = кварта/тон

Таким образом, музыкальная гамма разделена на пропорциональные части; она буквально пронизана пропорциями, а пропорциональность, как мы знаем, является одним из объективных критериев красоты. Однако на этом математика музыкальной гаммы не кончается, а, скорее, только начинается.

Прежде всего видно, что расстояния между соседними ступенями пифагорова строя неодинаковы. Поэтому, во-первых, от ноты До можно было играть только в лидийском ладу, а чтобы сыграть от этой ноты, скажем, в дорийском ладу, необходимо было перестраивать почти все струны лиры. Во-вторых, от ноты Ре получался уже не лидийский, а фригийский лад и, вообще, от каждой новой ноты начинался новый лад (не случайно в таблице 1 на с. 107 имеется семь ладов - по одному на каждую из семи нот октавы). Поэтому, чтобы сыграть мелодию в лидийском ладу от другой ноты (чего, безусловно, требовали ограниченные возможности человеческого голоса: один поет выше, другой - ниже), лиру также следовало перестраивать. (Конечно, если всю жизнь играть в одном ладу и одной тональности, то семи нот в октаве будет вполне достаточно. До сих пор прекрасно обходятся семью звуками некоторые гармошки и другие народные инструменты.)

Итак, для того, чтобы иметь возможность переходить из лада в лад и из тональности в тональность, строй должен быть равномерным, т. е. иметь одинаковые высотные расстояния (интервальные коэффициенты) между звуками. Казалось бы, что проще: нужно разделить каждый тон-интервал пополам на два полутона, т. е. получить еще пять дополнительных звуков, и шкала пифагорова строя станет равномерной. Но вот тут-то и таилась основная трудность. Дело в том, что половина тона в точности(√9/8≈1,0607) не равна полутону (256/243≈1,0545). Поэтому если в качестве единого масштаба строя взять полутон √9/8 и заменить на него имеющиеся два полутона 256/243, то эти 12 новых полутонов приведут нас не точно в октаву (2), а чуточку выше: (√9/8)12=(9/8)6≈2,0273

Интервал между октавой, полученной шагами по 12-равномерным полутонами √9/8 чистой октавой равен (9/8)6:2 ≈ 1,0136 и называется пифагоровой коммой <...>

А сейчас обратим внимание на второй существенный недостаток пифагорова строя. Его заметил еще во II веке древнегреческий ученый пифагореец Дидим. Дело в том, что пифагорова терция (81/64) при гармоническом, т. е. одновременном, исполнении обоих тонов, образующих терцию, звучит слишком напряженно. Дидим предложил заменить пифагорову терцию (81/64) так называемой «чистой терцией» (5/4 = 80/64), которая гармонически звучит значительно приятнее, хотя, как видим, лишь чуть-чуть отличается от пифагоровой терции. Разность пифагоровой и чистой терций (81/64:80/64 = 81/80≈1,0125) называется дидимовой коммой и приблизительно равна 1/10 целого тона. В XVI веке выдающийся итальянский композитор и музыкальный теоретик Джозеффо Царлино (1517-1590) воскресил идеи Дидима. Так родился новый квинтово-терцовый строй, названный чистым строем. Новое всегда с трудом пробивает себе дорогу. Учение Царлино подверглось резким нападкам. Любопытно, что среди тех, кто не признавал учения Царлино и вел с ним непримиримую борьбу, был Винченцо Галилей - выдающийся итальянский лютнист и отец великого революционера в науке Галилео Галилея. Почему чистая терция (5/4), ставшая наравне с квинтой полноправной хозяйкой нового строя, звучит приятнее пифагоровой, мы объясним в главе 10. Пока же отметим одну поразительную закономерность: интервальный коэффициент чистой терции (ее называют также большой терцией) есть среднее арифметическое интервальных коэффициентов основного тона (1) и квинты (3/2):

А дополнение большой терции (5/4) до квинты (3/2) - малая терция (3/2:5/4 = 6:5) - является средним гармоническим основного тона и квинты:

Оба этих интервала дают приятное звучание; таким образом, закон целочисленных отношений Пифагора расширяется, а внутри музыкальной гаммы появляются еще две пропорции!

Здесь кружками отмечены тоны, изменившиеся по сравнению с пифагоровым строем, цифры внизу обозначают интервалы между ступенями.

Как видим, числовые характеристики чистого строя более простые. Однако сам строй стал менее равномерным: в нем, кроме полутона 16/15, появились две разновидности целых тонов 9/8 и 10/9. Знакомые с музыкальной грамотой, конечно, увидели, что мажорные трезвучия (4÷5÷6) чистого строя построены на тонике (до), субдоминанте (ми) и доминанте (соль).

С помощью целых тонов 9/8 и 10/9 и полутона 16/15 легко построить чистый строй фригийской гаммы (см. табл. 1, с. 107), который понадобится нам в части IV:

Мы не будем останавливаться на проблеме деления целых тонов чистого строя, тем более, что их теперь стало два. Отметим другое. Чистый строй в истории музыки сыграл короткую, но заметную роль. Его звучание стало намного ярче и богаче по сравнению с пифагоровым строем. Чистый строй способствовал формированию мажорного и минорного ладов, развитию музыкальной гармонии. Но...
Вместе с достоинствами пришли и недостатки. Все те же ненавистные музыкантам «волки» поселились теперь уже не на дополнительных, а на основных ступенях чистого строя! Легко проверить, что квинта между II и VI ступенями (ре-ля) является самым настоящим «волком» 5/3:9/8=40/27≈1,4815. Соответственно «волком» является и ее обращение - кварта (ля-ре): 9/4:5/3=27/20= 1,35:

Следовательно, настроив орган в чистом строе от ноты до, например, органист не мог уже перейти в тональности ре-мажор и ре-минор, т.е. в те тональности, где «волчья квинта» входит в тоническое трезвучие и встречается наиболее часто. Разумеется, приходилось исключать и те тональности, где эта квинта входила в доминанту и субдоминанту, которые также являются основными ступенями лада. Таким образом, органист оказывался что называется связанным по рукам: модуляции, т. е. переходы, в другие тональности были крайне ограничены и опасны, и это лишало музыку значительной части ее выразительных средств.

Волошинов А. В. "Математика и искусство"

Как далее отмечает Волошинов, этого ограничения нет для инструментов с нефиксированной высотой звуков: безладовые струнные (скрипка, виолончель), духовые и пр.

Согласно Пилецкому, длина церкви составляет 12 саженей по 176 см, которые складываются из 6 саженей по 209 см и 6 саженей по 142 см.

12*176 = 2112 (по замеру — 2110);
6*209 = 1254;
6*142,4 = 854,4;
1254+852 = 2108

В музыкальном выражении это мажорное трезвучие ДО-МИ-СОЛЬ (C-E-G), где 12E=6C+6G:

12*5/4=6*1+6*3/2;

Сократив шестёрки получаем 10/4=5/2;

Это справедливо лишь для чистого строя – у Пифагора E равно 81/64 и уравнения не получится.

При переводе в сантиметры должно выглядеть так:

12*178 = 6*142,4+6*213,6 = 2136;

Не сошлось на 26 см, что соответствует погрешности в ~1,2%. Не так уж плохо в первом приближении.

Итак, мажорное трезвучие составлено из ближайших гармоник (4, 5, 6) основного тона (баса мажорного трезвучия). Значит, оно не только консонирует, но и обладает акустическим единством, заложенным в самой природе колебания струны. Это дало основание одному из последних универсальных ученых — немецкому математику, физику, физиологу и психологу Герману Гельмгольцу (1821—1894) утверждать, что «мажорный аккорд наиболее натурален из всех аккордов».
Гамма чистого строя является наиболее благозвучной, а ее интервальные коэффициенты имеют самый простой вид. Но еще удивительнее то, что гамма является и самой пропорциональной. В самом деле, среднее арифметическое и среднее гармоническое основного тона (1) и октавы (2) дают нам квинту и кварту:Среднее арифметическое и среднее гармоническое основного тона и квинты образуют большую и малую терции:

Наконец, взяв среднее арифметическое и среднее гармоническое основного тона и большой терции, мы получим оба интервала тона чистого строя:

Таким образом, все главные интервалы чистого строя получаются как последовательная цепь средних пропорциональных, началом которой является пропорциональное деление октавы на квинту и кварту.
Перейдем к хроматической гамме чистого строя. Для построения дополнительных ступеней хроматической гаммы отложим полутон чистого строя (16/15) вверх от 1, 2, 4, 5 и 6-й ступеней диатонической гаммы (11.9), т. е. умножим их интервальные коэффициенты на 16/15, а также из соображений симметрии отложим полутон вниз от 5-й ступени. В результате получим 13-ступенную гамму:

Интервальные коэффициенты 45/32 и 64/45 можно заменить на более простые 7/5 и 10/7, которые приближенно им равны

и также обладают геометрической симметрией относительно

В результате входящие в хроматическую гамму чистого строя интервальные коэффициенты выразятся с помощью отношения натуральных чисел, не превосходящих 16, которые можно трактовать как частоты первых 16 гармоник основного тона, или первые 16 ступеней натурального звукоряда:

Волошинов А. В. "Математика и искусство"

Попробую построить ряд саженей в отношениях чистого строя с одним исключением:
Ступени трезвучия F#:A#:C# я приму диагоналями квадратов C,G,E, как это следует из геометрического построения вписанных квадратов.
За единицу я приму общепринятую малую сажень размеров в 142,4 см.
Получаем следующий именованный ряд:

Из названий до нас дошли едва ли половина. Прочие сажени самоназваны исследователями.

Однако, как же зодчие получали саженный ряд?

Это должен быть очень простой способ, поскольку в те далёкие времена не было даже бумаги, не то, что компьютеров.

Единственная подсказка, которая у меня есть — это второй вавилон.

Второй вавилон

В 1948 г. при раскопках в Старой Рязани Александром Львовичем Монгайтом была найдена глиняная плита с расчетным чертежом XII в.:

Рыбаков, СА, №1

В 1952 г. прямоугольный «вавилон» был найден в Болгарии в Преславе на надгробной плите вельможи Мостича, датируемой 950—960-ми годами.

Одной из важнейших находок является открытая в 1948 г. в Старой Рязани глиняная плита с самым точным из всех известных до сих пор чертежей.

Плита с чертежей найдена на уровне пола в западном притворе собора, названного А. Л. Монгайтом Борисоглебским (хотя ввиду полного тождества плана этого здания с Успенской церковью в Чернигове, его правильнее было бы назвать тоже Успенским). Дата здания — середина XII в.

Из перечисленных семи новых находок особенно важны для нас, во-первых, таманская черепица X в. с двумя чертежами и, во-вторых, старорязанская плита. Тмутараканская черепица показала, что могут быть «вавилоны» двух видов — квадратные и прямоугольные. Начерчены они, небрежно и служить непосредственно «рабочими чертежами», разумеется, не могли. Однако, несмотря на неточности выполнения, здесь легко угадываются те геометрические фигуры, которые древний тмутараканец стремился воспроизвести на глаз. Наложение точного чертежа, выполненного циркулем и угольником на эти рисунки, убеждает в существовании определенных закономерностей. Не подлежит сомнению, что один из рисунков на черепице изображает систему трех вписанных квадратов; середины сторон всех трех квадратов соответственно соединены четырьмя линиями, перпендикулярными этим сторонам («лестницы зиккурата»).

Рыбаков, СА, №1

Второй рисунок, сделанный более тщательно, представляет собой три вписанных прямоугольника, размеры сторон которых находятся в зависимости от размеров первой фигуры: длинная сторона большого (внешнего) прямоугольника равна стороне большого квадрата, а его короткая, боковая сторона равна стороне среднего квадрата (или, что одно и то же, половине диагонали большого квадрата). Два внутренних прямоугольника второй фигуры дают следующие закономерности: длинная сторона каждого из них равна короткой стороне следующего по величине (большего) прямоугольника, середины сторон также соединены линиями. Геометрически построить такую фигуру, как три вписанных прямоугольника с отношением длинных сторон к коротким как а:(a/2)*√2 можно только при помощи вспомогательного чертежа в виде трех вписанных квадратов.По счастью, этот вспомогательный чертеж был сделан на этом же самом куске черепицы.«Вавилоны» тмутараканской церкви середины X в. мы должны рассматривать как два сопряженных между собой чертежа: три вписанных квадрата были вспомогательным чертежом (выполненным более небрежно), необходимым для построения второго чертежа, состоящего из прямоугольников.Каким же целям должен был служить этот сложный чертеж, ради чего создавалась такая геометрическая композиция? <…>Звеном, связывающим символические изображения «вавилонов» с конкретной архитектурной действительностью, является драгоценная находка в Старой Рязани.На глиняной плите размером 25,9*18 см аккуратно и точно нанесены три прямоугольника разных размеров. Один внутри другого, но так, что одна из боковых сторон каждого из них опирается на одну общую для всех прямую линию.

Рыбаков, СА, №1

Вся фигура имеет вид как бы трех букв П, написанных одна в другой и опирающихся на общую черту; над верхним П начерчена небольшая дужка. Следует особо отметить, что человек, исполнявший этот чертеж, был очень тщателен и стремился нанести линии с максимальной точностью, соблюдая их параллельность и правильность прямых углов.

Если принять за единицу большую сторону внутреннего прямоугольника, то размеры будут следующими:
1/√2 : 1;
1 : √2;
√2 : 2;
Анализ рязанского чертежа убеждает в том, что здесь перед нами отобранные для каких-то целей линии «вавилона». Размеры того «вавилона», который послужил основой для чертежа, почти совпадают с размерами самой плиты, а этот размер в свою очередь является одним из самых ходовых, самых распространенных форматов древнерусского кирпича.Устойчивость формата 25*18 см и в то же время несовпадение его с древнерусскими мерами заставляет нас поискать основу его за пределами локтей и пядей. (…)В той самой Успенской церкви, где найден чертеж, основным размером кирпича является 26*18,5*5; 25*18*4,5 см. (См. А. Л. Монгайт. ук. соч., стр. 79). То же самое мы встречаем и в двойнике этой церкви, вернее, образце ее — в Успенской церкви Елецкого монастыря в Чернигове.

Рыбаков, СА, №1

4,5 см — это вершок малой сажени. 17,8 — её пядь (1/8). Действительно, длина кирпича относится к ширине как диагональ к стороне квадрата: 25,1/17,8 = 1,41. В «систему древнерусских мер» тоже вписывается прекрасно. Не понимаю, как этого не заметил Рыбаков!

Самое очевидное предположение: линии на чертеже и есть сажени. Любопытно сравнить их как с чистым строем, так и с равномерно темперированным:

Небезупречно, но с достаточной для использования точностью.

Как пишет Г.В. Алфёрова в работе «Математические основы Русского градостроительства XVI-XVII веков», важность имели «лёгкие и простые приёмы», которые «позволяли быстро получать результат в одном и том же масштабе погрешностей».

На этом можно бы успокоится… Но мне не нравится этот способ — я не понимаю его сути! Любое число между 1 и 2 приблизительно соответствует какой-то сажени…

Другими словами, я не могу проследить последовательное рассуждение, которое привело ко второму вавилону, как к простому способу получения саженей.

А как бы сделал я сам?

Я вижу, что все сажени можно поделить на три вида по кратности: 2, 3, 5. На ум сразу приходит «египетский» прямоугольный треугольник со сторонами 3:4:5, что соответствует любому натуральному мажорному трезвучию, например E:С:G.

Тоника оказалась в середине. Лучше вести счёт от большого катета, вот так: трезвучие С:E:G соответствует прямоугольному треугольнику 4:5:3.

Или равнобедренному 4:5:6, если брать доминанту в той же октаве.

Всего таких троиц в строе пять:
C:E:G
G:B:D
G#:C:D#
F:A:C
F#:A#:C#

Предположим, что Рыбаков допустил некоторую неточность в замерах, и отношения сторон прямоугольников во втором вавилоне не √2/1, а 4/3. Разница не великая: 1,414 против 1,333.

Попробую нарисовать:

На первом вавилоне диагонали квадратов C G E порождают ступени F# C# A#.

Прежде чем переходить ко второму вавилону, я хочу увидеть, как связаны все наши треугольники.

За основу беру Малую сажень (ступень С) принимая её за 16 клеточек, что бы не мельчить.
Она является большим катетом трезвучия C:E:G с отношением 16:20:12 (4:5:3).
G относится к D как 4 к 3.
Откладываем 9 клеточек, получаем треугольник G:B:D.
При этом часть отрезка B является высотой треугольника C:E:G и Египетской саженью (ступень D#).
Напомню, что высота равна отношению произведений катетов к гипотенузе.
В данном случае D#=(C×G)/E
Отложу с другой стороны и построю треугольник G#:C:D#.
Считать по клеточкам очень удобно, не правда ли?

В треугольнике F:A:C ступень С является малым катетом, а G# - высотой.
Для получения F и A нужно лишь продлить линии до пересечения на расстоянии 21 и 1/3 от центра.
F относится к C, как 4:3.
16:3×4=21,333333333(3)

Отмечу, что основа тригонометрии в случае с пифагорейскими треугольниками тождественна основным ступеням чистого (сиречь, саженного) строя!

Если развернуть наше построение в привычный со школы (но неудобный для понимания и использования) вид, мы увидим удивительную картину!
C = 1
D# = sin θ
E = sec θ
F = cot θ
G = tan θ
G# = cos θ
A = csc θ

Возвращаюсь ко второму вавилону.
Все прямоугольники подобны. Стороны относятся друг к другу как 4 к 3. Отсчёт начинается с меньшего, чьи стороны я принимаю за малую (C) и половину казённой (G) сажени. Соответственно, диагональ равна народной/маховой (E).

Следующая сажень D – кладочная.

Если следовать чистому строю, то в треугольнике D-F♯-A все стороны разбегаются от отношений 4-5-6. Тут мы сталкиваемся с «волком», о котором предупреждал А. В. Волошинов.

Если построить ряды от каждой сажени, такие тройки будет легко выделить.

В ряду от D совпадают только ступени F и B. Доминанта G =1,688 не соответствует той же ноте A = 1,667 в исходном ряду. Этот треугольник из другой системы координат.

Ступень D присутствует в треугольнике D-G-B, где D в является меньшим катетом, а B гипотенузой: 9-12-15.

D относится к С как 9/8, его легко отложить по клеточкам:

Что замечательно, часть отрезка B является высотой треугольника C-E-G.
И делит на две части отрезок E.
Так мы получаем треугольник G#-С-D#, где C является гипотенузой:

Особым образом строится треугольник F-A-С.
Я исходно принял C за 8 клеточек и до сих пор это было оправдано и вполне удобно.
Но ступени F и A соотносятся как с C как 4/3 и 5/3.
Т.е. нужно разделить 8 на три части, что совершенно непросто сделать на глиняной пластинке в полевых условиях.
Здесь зодчие использовали свойство подобия прямоугольников.
Не составляет труда отложить C на отрезке G отступив по две клеточки от краёв. Проведя через эти точки вертикальные прямые мы получим F на пересечении диагоналей:

Пожалуй, пришло время проверить теорию на прочность «материальными свидетельствами».

Статья серии Cажени

<<<

>>>

При использовании материалов статьи активная ссылка на tart-aria.info с указанием автора Владимир Безуглов обязательна.